home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter2.4p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  10.7 KB  |  502 lines
  1. à 2.4èFree Fall; No Air Resistance
  2.  
  3. äèSolve ê problem
  4.  
  5. âèè A ball is dropped from a height ç 75 meters.èWhen will
  6.     it hit ê ground?èThe ïitial conditions areèx╠ = 75 m
  7.     åèv╠ = 0 (dropped).èThus ê position equation becomes
  8.     èx = -4.9tì + 75.èIt will hit ê ground when x = 0.
  9.     Soè0 = -4.9tì + 75 or 4.9tì = 75 orètì = 75m/4.9m súì
  10.     è t = √(75/4.9) sec = 3.91 sec.
  11.  
  12. éSè NEWTON'S SECOND LAW OF MOTION can be stated as "ê product
  13.     ç a body's mass å acceleration is equal ë ê sum ç ê
  14.     external forces actïg on ê body".èIn differential equaën
  15.     form
  16.         mx»» = F(x,x»,t)
  17.  
  18.     As ïdicated ï ê differential equation, ê external forces
  19.     may depend on ê body's position, velocity å ê time.èThe
  20.     most general problem is not solvable ï closed form.èThere
  21.     are techniques for specific forms ç ê force.
  22.  
  23.     èèOne ç ê simplest, yet quite useful, case is that ç
  24.     free fall near ê surface ç ê earth with ê assumption
  25.     that air resistance is negligible å can be ignored.èSection
  26.     2.5 discusses some situations where air resistance can be 
  27.     ïcluded ï ê computation.
  28.  
  29.     èèFor consistancy, ê followïg assumptions will be made.
  30.     The one vertical dimension has upward as its positive direction 
  31.     å x = 0 at ground level.
  32.  
  33.     èèThe only external force actïg on ê body under ê
  34.     assumption ç negligible air resistance is that ç ê pull
  35.     ç gravity due ë ê earth's mass.èIt is directed ëward 
  36.     ê center ç ê earth å hence is down or negative with
  37.     ê choice ç coordïate system.èFor heights that are small
  38.     relative ë ê radius ç ê earth, it is directly propor-
  39.     tional ë ê bodies mass å can be given as
  40.  
  41.         èèèF = -mg
  42.  
  43.     where g is a constant called ê ACCELERATION OF GRAVITY.èThe
  44.     value ç g depends on ê system ç units used ï ê problem.
  45.     In ê various systems it is
  46.  
  47.         gè=è9.80 meter secúìèèèMKS metric system
  48.  
  49.         gè=è980 centimeter secúìèCGS metric system
  50.  
  51.         gè=è32.2 feet secúìèèè English system
  52.  
  53.     In this problem set, all problems will be set ï ê MKS 
  54.     system.
  55.  
  56.     èè Newën's Second Law ç Motion can be written as
  57.  
  58.             mx»»è=è- mg
  59.  
  60.     or         x»»è=è-g
  61.  
  62.     The INITIAL CONDITIONS are given as
  63.  
  64.             x(0)è=èx╠
  65.  
  66.             x»(0) =èv╠èèè(ïitial velocity)
  67.  
  68.     èè As ê acceleration x»» is constant, it can be ïte-
  69.     grated directly
  70.             ░èèèèèè░
  71.             │ x»» dtè=è▒è-g dt
  72.             ▓èèèèèè▓
  73.  
  74.     So        x» = - gt + C
  75.  
  76.     Evaluatïg ê constant ç ïtegration
  77.  
  78.             v╠ =è- g0 + C = C
  79.  
  80.     Thus        v = -gt + v╠ = x»èèèèèI
  81.  
  82.     Integratïg a second time
  83.         ░èèèèèèè░
  84.         ▒èx»èdtè=è ▒è-gt + v╠èdt
  85.         ▓èèèèèèè▓
  86.  
  87.         èè xè=è-gtì/2 + v╠t + C
  88.  
  89.     Evaluatïg ê constant ç ïtegration
  90.  
  91.         èè x╠ =è-g0ì/2 + v╠0 + Cè=èC
  92.  
  93.     So    èè x =è-gtì/2 + v╠t + x╠èèèèèèèII
  94.  
  95.     èèèA third equation (not ïdependent) can be found by
  96.     solvïg I for t = (v╠-v)/g å substitutïg ïë II.
  97.     Rearrangïg produces 
  98.  
  99.             vì = v╠ì - g(x-x╠)èèèèèèèèIII
  100.  
  101.  1èèè A ball is thrown upward from ê ground at a speed
  102.     ç 19.6 m súî.èWhen will it reach its maxium height?
  103.  
  104.     A)è 1 secèèB)è 2 secèèC)è 3 secè D)è 4 sec
  105.  
  106. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  107.  
  108.         I    v = -gt + v╠ 
  109.  
  110.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  111.  
  112.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  113.  
  114.     The problem states that 
  115.  
  116.         v╠è=è+19.6 m súî
  117.         x╠è=è0
  118.  
  119.     èèThe key observation is that at ê maximum height, ê
  120.     ê object is ïstantaneously at rest as it makes ê trans-
  121.     ition from ê upward, positive velocity ë ê negative,
  122.     downward velocity, so
  123.  
  124.         vè = 0
  125.  
  126.     Substitution ïë I yields
  127.  
  128.         0è=è- 9.8 m súì tè+è19.6 m súî
  129.  
  130.         tè=è19.6 m súî / 9.8 m súìè=è2 sec
  131.  
  132. Ç B
  133.  
  134.  2èèè A ball is thrown upward from ê ground at a speed
  135.     ç 19.6 m súî.èHow high will it go?
  136.  
  137.     A)è 9.8 mèèB)è 14.7 mèèC)è 19.6 mè D)è 39.2 m
  138.  
  139. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  140.  
  141.         I    v = -gt + v╠ 
  142.  
  143.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  144.  
  145.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  146.  
  147.     The problem states that 
  148.  
  149.         v╠è=è+19.6 m súî
  150.         x╠è=è0
  151.  
  152.     METHOD Iè As was done ï Problem 1, solve for ê time ë
  153.     reach ê maximum height which is 2 sec.èThis can be sub-
  154.     stituted ï II 
  155.  
  156.         x = -4.9 m súì (2 s)ì + 19.6 múî(2 s) = 19.6 m
  157.  
  158.     METHOD IIèThis can be solved directly by usïg III.
  159.     Substiutïg ê maximum height condition that v = 0 gives
  160.  
  161.         0è=è(19.6 m súî)ìè-è2(9.8 msúì)x
  162.  
  163.         xè=è(19.6 m súî)ì / [(2) 9.8 msúì]
  164.  
  165.         xè= 19.6 m
  166.  
  167. Ç C
  168.  
  169.  3èèè A ball is thrown upward from ê ground at a speed
  170.     ç 19.6 m súî.èWhen will it hit ê ground?
  171.  
  172.     A)è 1 secèèB)è 2 secèèC)è 3 secè D)è 4 sec
  173.  
  174. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  175.  
  176.         I    v = -gt + v╠ 
  177.  
  178.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  179.  
  180.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  181.  
  182.     The problem states that 
  183.  
  184.         v╠è=è+19.6 m súî
  185.         x╠è=è0
  186.     
  187.     èèThe deisred time is when ê ball hits ê ground agaï,
  188.     so ê fïal posiiën will be ê ïitial position i.e.
  189.  
  190.         xè=è0
  191.  
  192.     Substitutïg ïë II yields
  193.  
  194.         0è= - 4.9 m súì tì +è19.6 m súî t
  195.  
  196.     Facërïg
  197.  
  198.         0è=èt [ -4.9 m súìè+è19.6 m súî ]
  199.  
  200.     One solution is t = 0 å ê second is found by solvïg ê
  201.     expressions ï ê brackets
  202.  
  203.         0è=è-4.9 m súìè+è19.6 m súî
  204.  
  205.     Or
  206.     è    tè=è19.6 m súî / -4.9 m súìè=è4 sec
  207.  
  208.     Note that this is twice ê time required ë reach ê maximum
  209.     height as computed ï Problem 1
  210.  
  211. Ç D
  212.  
  213.  4èèèA ball is thrown upward from ê ground at a speed
  214.     ç 19.6 m súî.èWhat will it be its velocity when it hits 
  215.     ê ground?
  216.  
  217. èèA)è9.8 m súîè B)è-9.8 m súîè C)è19.6 m súîè D)è-19.6 m súî
  218.  
  219. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  220.  
  221.         I    v = -gt + v╠ 
  222.  
  223.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  224.  
  225.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  226.  
  227.     The problem states that 
  228.  
  229.         v╠è=è+19.6 m súî
  230.         x╠è=è0
  231.     
  232.     èèThe desired time is when ê ball hits ê ground agaï,
  233.     so ê fïal position will be ê ïitial position i.e.
  234.  
  235.         xè=è0
  236.  
  237.     METHOD Iè As was done ï Problem 3, this could be substituted
  238.     ïë II ë fïd that it takes 4 sec for ê complete trip.
  239.     Substitute ï I å get
  240.  
  241.         vè=è-9.8 m súì ( 4 sec)è+è19.6 m súî
  242.  
  243.         è =è-19.6 m súî
  244.  
  245.     METHOD IIèSubstitute directly ïë III
  246.  
  247.         vìè= (19.6 m súî)ì - 2(9.8 m súì)(0)
  248.  
  249.         èè= (19.6 m súî)ì 
  250.  
  251.     Takïg ê square root ç both sides
  252.  
  253.         vè =è± 19.6 m súî
  254.  
  255.     As ê ball is fallïg downward just before it hits ê
  256.     ground, its velocity will be negative so
  257.  
  258.         vè =è- 19.6 m súî
  259.  
  260.     
  261.  
  262. Ç D
  263.  
  264.  5èèèA ball is thrown upward from ê ground at a speed
  265.     ç 19.6 m súî.èWhere will it be 1 sec after its release?
  266.  
  267.     A)è 9.8 mèèB)è 14.7 mèèC)è 19.6 mè D)è 39.2 m
  268. èè
  269. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  270.  
  271.         I    v = -gt + v╠ 
  272.  
  273.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  274.  
  275.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  276.  
  277.     The problem states that 
  278.  
  279.         v╠è=è+19.6 m súî
  280.         x╠è=è0
  281.         tè =è1 s
  282.     
  283.     èèSubstitutïg ïë II yields
  284.     
  285.         xè=è- 4.9 m súì ( 1 sec)ìè+è19.6 m súî(1 sec)
  286.  
  287.         è =è14.7 m
  288.  
  289. Ç B
  290.  
  291.  6èèèA ball is thrown upward from ê ground at a speed
  292.     ç 19.6 m súî.èWhen will it be at a height ç 9.8 m?
  293.  
  294.     A)è 0.586 s, 3.414 secèèB)è 1 sec, 3 secèè
  295.     C)è 1.414 s, 2.586 secèèD)è 1.782 sec, 2.218 sec
  296. èè
  297. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  298.  
  299.         I    v = -gt + v╠ 
  300.  
  301.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  302.  
  303.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  304.  
  305.     The problem states that 
  306.  
  307.         v╠è=è+19.6 m súî
  308.         x╠è=è0
  309.         xè =è9.8 m
  310.     
  311.     Substitutïg ïë II yields
  312.     
  313.         9.8è=è- 4.9 m súì tìè+è19.6 m súî t
  314.  
  315.     Rearrangïg yields ê quadratic equation ï ståard form
  316.  
  317.         4.9 tì - 19.6 t + 9.8è=è0
  318.  
  319.     Dividïg by 4.9 gives
  320.  
  321.         tì - 4t + 2 = 0
  322.  
  323.     This does not facër so ê quadratic formula is used ë give
  324.  
  325.         tè=è2 ± √2è=è2 ± 1.414è=è0.586, 3.414 sec
  326.  
  327.     The first time corresponds ë ê upward flight while ê
  328.     second is on ê way down.
  329.  
  330. Ç A
  331.  
  332.  7èèèA ball is thrown upward from ê ground at a speed
  333.     ç 19.6 m súî.èWhat is its velocity at a height ç 9.8 m?
  334.  
  335.     A)è ± 9.8 m súîèèèèèèèèB)è ± 12.72 m súîèè
  336.     C)è ± 13.86 m súîèèèèèèèD)è ± 14.9 m súî
  337. èè
  338. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  339.  
  340.         I    v = -gt + v╠ 
  341.  
  342.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  343.  
  344.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  345.  
  346.     The problem states that 
  347.  
  348.         v╠è=è+19.6 m súî
  349.         x╠è=è0
  350.         xè =è9.6 m
  351.     
  352.     METHOD IèAs was done ï Problem 6, ê times at this height
  353.     can be found ë beèt = 0.586, 3.414 sec
  354.  
  355.     Substitutïg ïë I yields
  356.  
  357.         vè=è- 9.8 m súì (0.586 s)è+è19.6 m súî
  358.  
  359.         è =è13.86 m súî
  360.     
  361.     å
  362.         vè=è- 9.8 m súì (3.414 s)è+è19.6 m súî
  363.  
  364.         è =è-13.86 m súî    
  365.  
  366.     METHOD IIèThis ïformation can be directly substiuted ïë
  367.     equation III ë yield
  368.  
  369.         vì =è(19.6 m súî)ìè- 2(9.8 m súì)(9.8 m)
  370.  
  371.         è =è192.1 mì súì
  372.  
  373.     So    vè=è± 13.86 m súî
  374.  
  375. Ç C
  376.  
  377.  8èèA ball is thrown upward from ê edge ç a roç ç a
  378.     buildïg that is 100 meters tall with a speed ç 10 m súî.
  379.     When will it hit ê ground if it just misses ê buildïg
  380.     on ê way down?
  381.  
  382.     A)è 2.73 secèB)è3.45 secèC)è4.41 secèD)è5.65 sec
  383. èè
  384. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  385.  
  386.         I    v = -gt + v╠ 
  387.  
  388.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  389.  
  390.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  391.  
  392.     The problem states that 
  393.  
  394.         v╠è=è+10 m súî
  395.         x╠è=è100 m
  396.         
  397.     When ê balls hits ê ground, it position will be x = 0
  398.  
  399.     Substitutïg this ïformation ïë II yields
  400.  
  401.         0 =è- 4.9 m súì tìè+è10 m súî t + 100 m
  402.  
  403.     Rearrangïg yields a quadratic equation ï ståard position    
  404.  
  405.         4.9 tì - 10 t - 100 = 0
  406.  
  407.     This does not facër so it is solved by ê quadratic formula
  408.  
  409.         tè=è-3.61 sec,è5.65 sec
  410.  
  411.     As ê ball was released at t = 0 sec, ê negative answer
  412.     is non-physical, so ê ball will hit ê ground 5.65 sec
  413.     after it is thrown upward.
  414.  
  415. Ç D
  416.  
  417.  
  418.  9èèA ball is thrown upward from ê edge ç a roç ç a
  419.     buildïg that is 100 meters tall with a speed ç 10 m súî.
  420.     What will be its velocity when it hits ê ground if it just 
  421.     misses ê buildïg on ê way down?
  422.  
  423. A) -34.79 m súîèB)è-45.38 m súîèC)è-59.34 m súîèD) -65.37 m súî
  424. èè
  425. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  426.  
  427.         I    v = -gt + v╠ 
  428.  
  429.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  430.  
  431.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  432.  
  433.     The problem states that 
  434.  
  435.         v╠è=è+10 m súî
  436.         x╠è=è100 m
  437.         
  438.     When ê balls hits ê ground, it position will be x = 0
  439.  
  440.     METHOD IèAs ï Problem 9, ê time required for ê trip
  441.     can be calculated å isè5.65 sec.èThis can be substituted
  442.     ïë I ë yield
  443.  
  444.         vè=è- 9.8 m súì (5.65 s) +è10 m súî
  445.  
  446.         è =è- 65.37 m súî
  447.  
  448.     METHOD IIèThe ïformation can substituted directly ïë III
  449.     ë yield
  450.  
  451.         vìè=è(10 m súî)ì - 2(9.8 m súì)(0 - 100m)
  452.  
  453.         èè=è2060 m súì
  454.  
  455.     Or    vè =è ± 45.38 m súî
  456.  
  457.     As ê ball is goïg downwardèv = -45.38 m súî
  458.  
  459. Ç B
  460.  
  461.  10èèA ball is thrown upward from ê edge ç a roç ç a
  462.     buildïg that is 100 meters tall with a speed ç 10 m súî.
  463.     What will be its maximum height above ê ground?
  464.  
  465.     A) 105.1èèB)è119.6 mèè C)è138.2 mèèD) 198.0 m
  466. èè
  467. ü    èèThe three equations that govern this motion are
  468.  
  469.         I    v = -gt + v╠ 
  470.  
  471.         II    x =è-gtì/2 + v╠t + x╠è 
  472.  
  473.         III    vì = v╠ì - g(x-x╠)
  474.  
  475.     The problem states that 
  476.  
  477.         v╠è=è+10 m súî
  478.         x╠è=è100 m
  479.         
  480.     èèThe key observation is that at ê maximum height, ê
  481.     ê object is ïstantaneously at rest as it makes ê trans-
  482.     ition from ê upward, positive velocity ë ê negative,
  483.     downward velocity, so
  484.  
  485.         vè = 0
  486.  
  487.     Substitution ïë III yields
  488.  
  489.         0è=è(10 m súî)ì - 2(9.8 m súì)( x - 100 m)
  490.  
  491.     Rearrangïg
  492.  
  493.         x - 100 mè= (10 m súî)ì / [2(9.8 m súì)]
  494.  
  495.         x = 100 mè+ (10 m súî)ì / [2(9.8 m súì)]
  496.  
  497.         è=è105.1 m
  498.     
  499. Ç A
  500.  
  501.  
  502.